Možete li objasniti razliku između vektorskih jednadžbi, parametarskih jednadžbi i kartezijevih jednadžbi?


Odgovor 1:

Koristit ću jednadžbu ravnine u

R3\R^3

kao primjer.

Najčešća jednadžba ravnine u kartezijanskom obliku je

ax+by+cz=0ax+by+cz=0

Ovo je samo algebarska jednadžba. kartezijanske jednadžbe su samo multivarijantni polinomi (ne obrnuto). Ako biste analizirali skup nula ove jednadžbe i ucrtali te nule u

R3\R^3

, onda biste dobili avion.

Vektorska jednadžba ravnine je

x=v0+sv1+tv2,s,tR\vec{x}=\vec{v_0}+s\vec{v_1}+t\vec{v_2},\:\:\:\:s,t\in\R

[xyz]=[x0y0z0]+s[v1v2v3]+t[w1w2w3]\begin{bmatrix} x\\y\\z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} x_0\\y_0\\z_0\end{bmatrix}+s\begin{bmatrix} v_1\\v_2\\v_3\end{bmatrix}+t\begin{bmatrix} w_1\\w_2\\w_3\end{bmatrix}

Ovo je samo jednadžba koja uključuje vektore. Ovdje

v0\vec{v_0}

je točka na ravnini i

v1\vec{v_1}

i

v2\vec{v_2}

su vektori smjera (dva linearno neovisna vektora koji leže u ravnini). Druga jednadžba je upravo vektorska jednadžba proširena u obliku matrice koristeći koordinate vektora u odnosu na standardnu ​​osnovu

R3\R^3

(i^,j^,k^)(\hat{i},\hat{j},\hat{k})

,

Parametrijska jednadžba ravnine je sljedeća

{x=x0+sv1+tw1y=y0+sv2+tw2z=z0+sv3+tw3\begin{cases}x=x_0+sv_1+tw_1\\ y=y_0+sv_2+tw_2\\ z=z_0+sv_3+tw_3\end{cases}

Svaka koordinata opisuje kao funkciju dva parametra

ss

i

tt

,