Kakva je razlika između Lagrangijanca i Hamiltona?


Odgovor 1:

Pretpostavljam da niste studirali analitičku mehaniku ili mehaniku na četvrtoj godini ili diplomiranju. Tu ćete odabrati odgovarajuće elemente izračuna varijacija da biste to razumjeli.

 

Lagrangian i Hamiltonian pružaju alternativne, ali jednakovrijedne opise fizičkog sustava. Povezala ih je matematičkom transformacijom koja se naziva "Legendre transformacija". U osnovi, svaki problem koji se može formulirati lagrangijanom može se transformirati u ekvivalentan problem pomoću Hamiltonijeva i obrnuto. Izbor između korištenja jednog ili drugog svodi se na problem koji je lakše riješiti se matematičkog.

 

U proučavanju matematike optimizacije dva bi problema jedni drugima nazvali "dvojnici". U stvari, čitav problem Lagrangijanaca i Hamiltonaca postaje jasniji kada se matematika optimizacije jasno ima na umu. Međutim, način na koji se fizika često prikazuje, aspekt optimizacije fizičkog problema može doći i proći brzinom „ako trepnete, propustit ćete“.


Odgovor 2:

12mx˙2\frac{1}{2}m{\dot{x}}^2

12kx2\frac{1}{2}kx^2

Lx ddtLx˙=0\frac{\partial L}{\partial x}  - \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{x}} = 0

LL

xx

x˙\dot{x}

L=12mx˙212kx2L=\frac{1}{2}m{\dot{x}}^2-\frac{1}{2}kx^2

kxmx¨=0-kx-m\ddot{x}=0

Hx=p˙\frac{\partial H}{\partial x} = -\dot{p}

Hp=x˙\frac{\partial H}{\partial p} = \dot{x}

HH

xx

pp

p=mx˙p=m\dot{x}

H=p22m+12kx2H=\frac{p^2}{2m}+\frac{1}{2}kx^2

kx=p˙kx = -\dot{p}

pm=x˙\frac{p}{m}=\dot{x}

H=x˙Lx˙LH = \dot{x} \frac{\partial L}{\dot x}-L


Odgovor 3:

Na neki način, nema fundamentalne razlike između Newtonove mehanike, Lagrangijeve mehanike i Hamiltonijeve mehanike. Svi će vam pružiti jednaka rješenja za evoluciju vremena u sustavu. Lagrangian i Hiltonian su Legendre preobrazbe jedna drugu. U osnovi, Lagrangian vam omogućuje rad u konfiguracijskom prostoru, a Hamiltonian vam omogućuje rad u faznom prostoru. Koji koristite za određeni problem, stvarno se svodi na onaj koji je prikladniji ili lakši za rješavanje. Za sustav s konfiguracijskim prostorom dimenzije n, Hamiltonove jednadžbe su skup 2n, spojenih diferencijalnih jednadžbi prvog reda, dok su Euler-Lagrangeove jednadžbe skup n nevezanih, diferencijalnih jednadžbi drugog reda.


Odgovor 4:

U nerealističkoj kvantnoj mehanici ispada da je Hamiltonov operator stvar koja napreduje stanje sustava naprijed. Zato imate jednadžbu

H^Ψ=itΨ\hat H |\Psi \rangle = i \hbar \frac{\partial}{\partial t} |\Psi \rangle

Malo tehnički način da se to kaže je "Hamiltonov operator je generator vremenskog prevođenja."

S druge strane, kada pređete na kvantnu teoriju polja, jedan je glavni cilj osigurati da sve bude u skladu s relativnošću - drugim riječima, željeli biste da teorija izričito postane Lorentz-invarijantna. Kao što ste možda primijetili, Hamiltonijan (i doista čitav koncept Schrödingerove jednadžbe) nije * izričito Lorentzov invariant, samo zato što odvaja vrijeme van prostornih koordinata kao nešto posebno. Također, kao što se sjećate iz Lagrangian Mechanics, Hamiltonian je stigao u prvom redu izvodeći Legendre Transform na Lagrangianu:

H=pdxdtLH = p\frac{dx}{dt} - L

Što opet posebno izdvaja time out kao nešto posebno. U QFT-u to ne želite. To nas vraća na koncept Lagrangijeve gustoće, koji se lako može * izričito učiniti Lorentz-invariantnim. Na primjer, najjednostavniji mogući QFT je skalarna teorija slobodnog polja i ima sljedeću Lagrangijevu gustoću:

L=12(μϕ)(μϕ)12m2ϕ2\mathcal{L} = \frac{1}{2} (\partial_\mu \phi)(\partial^\mu \phi) - \frac{1}{2}m^2 \phi^2

Budući da se indeksi ispravno podudaraju, ta je količina očito nepromijenjena tijekom Lorentzove transformacije, pa je tako i sva fizika izvedena iz te točke. To je glavni razlog zašto se Lagrangijeva gustoća treba koristiti umjesto Hamiltonove gustoće u QFT-u.

Treba napomenuti da je * moguće koristiti Hamiltonovu gustoću u relativističkom QFT-u, ali je to mnogo složenije zbog Hamiltonijeva eksplicitnog razdvajanja prostora i vremena, pa se u pravilu odbacuje u korist lagranganske gustoće.

EDIT: Moj odgovor spojen je s drugačijim pitanjem - obrazloženje prvotnog pitanja na koje sam odgovorio posebno je spomenuo uporabu Hamiltonovog operatera u nerelativističkoj kvantnoj mehanici nasuprot korištenju Lagrangijeve gustoće u fizici čestica / teoriji kvantnog polja.


Odgovor 5:

U nerealističkoj kvantnoj mehanici ispada da je Hamiltonov operator stvar koja napreduje stanje sustava naprijed. Zato imate jednadžbu

H^Ψ=itΨ\hat H |\Psi \rangle = i \hbar \frac{\partial}{\partial t} |\Psi \rangle

Malo tehnički način da se to kaže je "Hamiltonov operator je generator vremenskog prevođenja."

S druge strane, kada pređete na kvantnu teoriju polja, jedan je glavni cilj osigurati da sve bude u skladu s relativnošću - drugim riječima, željeli biste da teorija izričito postane Lorentz-invarijantna. Kao što ste možda primijetili, Hamiltonijan (i doista čitav koncept Schrödingerove jednadžbe) nije * izričito Lorentzov invariant, samo zato što odvaja vrijeme van prostornih koordinata kao nešto posebno. Također, kao što se sjećate iz Lagrangian Mechanics, Hamiltonian je stigao u prvom redu izvodeći Legendre Transform na Lagrangianu:

H=pdxdtLH = p\frac{dx}{dt} - L

Što opet posebno izdvaja time out kao nešto posebno. U QFT-u to ne želite. To nas vraća na koncept Lagrangijeve gustoće, koji se lako može * izričito učiniti Lorentz-invariantnim. Na primjer, najjednostavniji mogući QFT je skalarna teorija slobodnog polja i ima sljedeću Lagrangijevu gustoću:

L=12(μϕ)(μϕ)12m2ϕ2\mathcal{L} = \frac{1}{2} (\partial_\mu \phi)(\partial^\mu \phi) - \frac{1}{2}m^2 \phi^2

Budući da se indeksi ispravno podudaraju, ta je količina očito nepromijenjena tijekom Lorentzove transformacije, pa je tako i sva fizika izvedena iz te točke. To je glavni razlog zašto se Lagrangijeva gustoća treba koristiti umjesto Hamiltonove gustoće u QFT-u.

Treba napomenuti da je * moguće koristiti Hamiltonovu gustoću u relativističkom QFT-u, ali je to mnogo složenije zbog Hamiltonijeva eksplicitnog razdvajanja prostora i vremena, pa se u pravilu odbacuje u korist lagranganske gustoće.

EDIT: Moj odgovor spojen je s drugačijim pitanjem - obrazloženje prvotnog pitanja na koje sam odgovorio posebno je spomenuo uporabu Hamiltonovog operatera u nerelativističkoj kvantnoj mehanici nasuprot korištenju Lagrangijeve gustoće u fizici čestica / teoriji kvantnog polja.


Odgovor 6:

U nerealističkoj kvantnoj mehanici ispada da je Hamiltonov operator stvar koja napreduje stanje sustava naprijed. Zato imate jednadžbu

H^Ψ=itΨ\hat H |\Psi \rangle = i \hbar \frac{\partial}{\partial t} |\Psi \rangle

Malo tehnički način da se to kaže je "Hamiltonov operator je generator vremenskog prevođenja."

S druge strane, kada pređete na kvantnu teoriju polja, jedan je glavni cilj osigurati da sve bude u skladu s relativnošću - drugim riječima, željeli biste da teorija izričito postane Lorentz-invarijantna. Kao što ste možda primijetili, Hamiltonijan (i doista čitav koncept Schrödingerove jednadžbe) nije * izričito Lorentzov invariant, samo zato što odvaja vrijeme van prostornih koordinata kao nešto posebno. Također, kao što se sjećate iz Lagrangian Mechanics, Hamiltonian je stigao u prvom redu izvodeći Legendre Transform na Lagrangianu:

H=pdxdtLH = p\frac{dx}{dt} - L

Što opet posebno izdvaja time out kao nešto posebno. U QFT-u to ne želite. To nas vraća na koncept Lagrangijeve gustoće, koji se lako može * izričito učiniti Lorentz-invariantnim. Na primjer, najjednostavniji mogući QFT je skalarna teorija slobodnog polja i ima sljedeću Lagrangijevu gustoću:

L=12(μϕ)(μϕ)12m2ϕ2\mathcal{L} = \frac{1}{2} (\partial_\mu \phi)(\partial^\mu \phi) - \frac{1}{2}m^2 \phi^2

Budući da se indeksi ispravno podudaraju, ta je količina očito nepromijenjena tijekom Lorentzove transformacije, pa je tako i sva fizika izvedena iz te točke. To je glavni razlog zašto se Lagrangijeva gustoća treba koristiti umjesto Hamiltonove gustoće u QFT-u.

Treba napomenuti da je * moguće koristiti Hamiltonovu gustoću u relativističkom QFT-u, ali je to mnogo složenije zbog Hamiltonijeva eksplicitnog razdvajanja prostora i vremena, pa se u pravilu odbacuje u korist lagranganske gustoće.

EDIT: Moj odgovor spojen je s drugačijim pitanjem - obrazloženje prvotnog pitanja na koje sam odgovorio posebno je spomenuo uporabu Hamiltonovog operatera u nerelativističkoj kvantnoj mehanici nasuprot korištenju Lagrangijeve gustoće u fizici čestica / teoriji kvantnog polja.


Odgovor 7:

U nerealističkoj kvantnoj mehanici ispada da je Hamiltonov operator stvar koja napreduje stanje sustava naprijed. Zato imate jednadžbu

H^Ψ=itΨ\hat H |\Psi \rangle = i \hbar \frac{\partial}{\partial t} |\Psi \rangle

Malo tehnički način da se to kaže je "Hamiltonov operator je generator vremenskog prevođenja."

S druge strane, kada pređete na kvantnu teoriju polja, jedan je glavni cilj osigurati da sve bude u skladu s relativnošću - drugim riječima, željeli biste da teorija izričito postane Lorentz-invarijantna. Kao što ste možda primijetili, Hamiltonijan (i doista čitav koncept Schrödingerove jednadžbe) nije * izričito Lorentzov invariant, samo zato što odvaja vrijeme van prostornih koordinata kao nešto posebno. Također, kao što se sjećate iz Lagrangian Mechanics, Hamiltonian je stigao u prvom redu izvodeći Legendre Transform na Lagrangianu:

H=pdxdtLH = p\frac{dx}{dt} - L

Što opet posebno izdvaja time out kao nešto posebno. U QFT-u to ne želite. To nas vraća na koncept Lagrangijeve gustoće, koji se lako može * izričito učiniti Lorentz-invariantnim. Na primjer, najjednostavniji mogući QFT je skalarna teorija slobodnog polja i ima sljedeću Lagrangijevu gustoću:

L=12(μϕ)(μϕ)12m2ϕ2\mathcal{L} = \frac{1}{2} (\partial_\mu \phi)(\partial^\mu \phi) - \frac{1}{2}m^2 \phi^2

Budući da se indeksi ispravno podudaraju, ta je količina očito nepromijenjena tijekom Lorentzove transformacije, pa je tako i sva fizika izvedena iz te točke. To je glavni razlog zašto se Lagrangijeva gustoća treba koristiti umjesto Hamiltonove gustoće u QFT-u.

Treba napomenuti da je * moguće koristiti Hamiltonovu gustoću u relativističkom QFT-u, ali je to mnogo složenije zbog Hamiltonijeva eksplicitnog razdvajanja prostora i vremena, pa se u pravilu odbacuje u korist lagranganske gustoće.

EDIT: Moj odgovor spojen je s drugačijim pitanjem - obrazloženje prvotnog pitanja na koje sam odgovorio posebno je spomenuo uporabu Hamiltonovog operatera u nerelativističkoj kvantnoj mehanici nasuprot korištenju Lagrangijeve gustoće u fizici čestica / teoriji kvantnog polja.


Odgovor 8:

U nerealističkoj kvantnoj mehanici ispada da je Hamiltonov operator stvar koja napreduje stanje sustava naprijed. Zato imate jednadžbu

YouintegratetheLagrangianwithrespecttotimetogetaquantitycalledtheaction,andtheactiondeterminesthedynamicsofthesystembyHamiltonsprinciple(yes,Iknowthenameisconfusing).Thisprinciplestatesthatthesystemevolvesinsuchawaysothattheactionisstationarywithrespecttoperturbationsthatleavetheboundaryconditions(i.e.,initialandfinalstate)constant.Forexample,ifaparticletravelsfrompointAtopointBovertheintervaloftime[t1,t2],theactionofthepathittakesmustbestationarywithinthespaceofallpathsfromAtoBwhichstartattime[math]t1[/math]andendattime[math]t2[/math].ThesolutiontothisvariationalproblemisgivenbytheEulerLagrangeequations.You integrate the Lagrangian with respect to time to get a quantity called the action, and the action determines the dynamics of the system by Hamilton's principle (yes, I know the name is confusing). This principle states that the system evolves in such a way so that the action is stationary with respect to perturbations that leave the boundary conditions (i.e., initial and final state) constant. For example, if a particle travels from point A to point B over the interval of time [t_1, t_2], the action of the path it takes must be stationary within the space of all paths from A to B which start at time [math]t_1[/math] and end at time [math]t_2[/math]. The solution to this variational problem is given by the Euler--Lagrange equations.

AsfortheHamiltonian,onceyouwritedowntheHamiltonian,youcanmuchmoredirectlywritedownthetimeevolutionofthesystem,inthesensethatifthesystemisdescribedbythevariables(q1,,qN,p1,,pN),youcanimmediatelycompute[math]q˙1,,q˙N,p˙1,,p˙N[/math]soyoucanpredictwhatstatethesystemwillevolveintoafteraninfinitesimalintervaloftimeelapses.(Inclassicalmechanics,togetthesetimederivatives,youactuallyhavetocomputederivativesoftheHamiltonian,butinquantummechanics,itisevensimpler,andtheHamiltonianisjustanoperatorwhichactsonthestatetoimmediatelygivethetimederivativeofthestate,uptoaconstantfactor.)ButbecausetheHamiltonianisdesignedtoletyouevolvethesysteminaparticulartimedirection,itisnotmanifestlyLorentzinvariantthewaytheLagrangianis.As for the Hamiltonian, once you write down the Hamiltonian, you can much more directly write down the time evolution of the system, in the sense that if the system is described by the variables (q_1, \ldots, q_N, p_1, \ldots, p_N), you can immediately compute [math]\dot{q}_1, \ldots, \dot{q}_N, \dot{p}_1, \ldots, \dot{p}_N[/math] so you can predict what state the system will evolve into after an infinitesimal interval of time elapses. (In classical mechanics, to get these time derivatives, you actually have to compute derivatives of the Hamiltonian, but in quantum mechanics, it is even simpler, and the Hamiltonian is just an operator which acts on the state to immediately give the time derivative of the state, up to a constant factor.) But because the Hamiltonian is designed to let you evolve the system in a particular time direction, it is not manifestly Lorentz-invariant the way the Lagrangian is.

S druge strane, kada pređete na kvantnu teoriju polja, jedan je glavni cilj osigurati da sve bude u skladu s relativnošću - drugim riječima, željeli biste da teorija izričito postane Lorentz-invarijantna. Kao što ste možda primijetili, Hamiltonijan (i doista čitav koncept Schrödingerove jednadžbe) nije * izričito Lorentzov invariant, samo zato što odvaja vrijeme van prostornih koordinata kao nešto posebno. Također, kao što se sjećate iz Lagrangian Mechanics, Hamiltonian je stigao u prvom redu izvodeći Legendre Transform na Lagrangianu:

H=pdxdtLH = p\frac{dx}{dt} - L

Što opet posebno izdvaja time out kao nešto posebno. U QFT-u to ne želite. To nas vraća na koncept Lagrangijeve gustoće, koji se lako može * izričito učiniti Lorentz-invariantnim. Na primjer, najjednostavniji mogući QFT je skalarna teorija slobodnog polja i ima sljedeću Lagrangijevu gustoću:

L=12(μϕ)(μϕ)12m2ϕ2\mathcal{L} = \frac{1}{2} (\partial_\mu \phi)(\partial^\mu \phi) - \frac{1}{2}m^2 \phi^2

Budući da se indeksi ispravno podudaraju, ta je količina očito nepromijenjena tijekom Lorentzove transformacije, pa je tako i sva fizika izvedena iz te točke. To je glavni razlog zašto se Lagrangijeva gustoća treba koristiti umjesto Hamiltonove gustoće u QFT-u.

Treba napomenuti da je * moguće koristiti Hamiltonovu gustoću u relativističkom QFT-u, ali je to mnogo složenije zbog Hamiltonijeva eksplicitnog razdvajanja prostora i vremena, pa se u pravilu odbacuje u korist lagranganske gustoće.

EDIT: Moj odgovor spojen je s drugačijim pitanjem - obrazloženje prvotnog pitanja na koje sam odgovorio posebno je spomenuo uporabu Hamiltonovog operatera u nerelativističkoj kvantnoj mehanici nasuprot korištenju Lagrangijeve gustoće u fizici čestica / teoriji kvantnog polja.


Odgovor 9:

U nerealističkoj kvantnoj mehanici ispada da je Hamiltonov operator stvar koja napreduje stanje sustava naprijed. Zato imate jednadžbu

H^Ψ=itΨ\hat H |\Psi \rangle = i \hbar \frac{\partial}{\partial t} |\Psi \rangle

Malo tehnički način da se to kaže je "Hamiltonov operator je generator vremenskog prevođenja."

S druge strane, kada pređete na kvantnu teoriju polja, jedan je glavni cilj osigurati da sve bude u skladu s relativnošću - drugim riječima, željeli biste da teorija izričito postane Lorentz-invarijantna. Kao što ste možda primijetili, Hamiltonijan (i doista čitav koncept Schrödingerove jednadžbe) nije * izričito Lorentzov invariant, samo zato što odvaja vrijeme van prostornih koordinata kao nešto posebno. Također, kao što se sjećate iz Lagrangian Mechanics, Hamiltonian je stigao u prvom redu izvodeći Legendre Transform na Lagrangianu:

H=pdxdtLH = p\frac{dx}{dt} - L

Što opet posebno izdvaja time out kao nešto posebno. U QFT-u to ne želite. To nas vraća na koncept Lagrangijeve gustoće, koji se lako može * izričito učiniti Lorentz-invariantnim. Na primjer, najjednostavniji mogući QFT je skalarna teorija slobodnog polja i ima sljedeću Lagrangijevu gustoću:

L=12(μϕ)(μϕ)12m2ϕ2\mathcal{L} = \frac{1}{2} (\partial_\mu \phi)(\partial^\mu \phi) - \frac{1}{2}m^2 \phi^2

Budući da se indeksi ispravno podudaraju, ta je količina očito nepromijenjena tijekom Lorentzove transformacije, pa je tako i sva fizika izvedena iz te točke. To je glavni razlog zašto se Lagrangijeva gustoća treba koristiti umjesto Hamiltonove gustoće u QFT-u.

Treba napomenuti da je * moguće koristiti Hamiltonovu gustoću u relativističkom QFT-u, ali je to mnogo složenije zbog Hamiltonijeva eksplicitnog razdvajanja prostora i vremena, pa se u pravilu odbacuje u korist lagranganske gustoće.

EDIT: Moj odgovor spojen je s drugačijim pitanjem - obrazloženje prvotnog pitanja na koje sam odgovorio posebno je spomenuo uporabu Hamiltonovog operatera u nerelativističkoj kvantnoj mehanici nasuprot korištenju Lagrangijeve gustoće u fizici čestica / teoriji kvantnog polja.